ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו יותר מדי נקודות )וכנראה גם לא מספיק נקודות(. הבעיות כתובות בנוסח הכרעה, אך לרבות מהן יש גרסאות אופטימיזציה. בעיות ב- )2002,Agorwal, Kayena, Saxena בזכות - האם הוא ראשוני?,N בהינתן :rimality )AKS האם הוא מספר מורכב )לא ראשוני(? )גם בזכות N, בהינתן :Compositeness :DNF-SAT בהינתן נוסחת,DNF האם היא ספיקה? )בסך הכל בודקים אם יש סוגר עם ליטרל ומשלימו( :)L( Linear rogramming בהינתן מערכת אי-שוויונים לינארית מעל n משתנים, האם יש למערכת פתרון בממשיים? - בזכות אלגוריתם האליפסואיד, 1971. לא להתבלבל עם )!I :)SD( Semi-Definite rogramming בהינתן מערכת אי-שוויונים מעל n וקטורים בגודל n, האם יש למערכת פתרון? )ולמעשה, בדרך כלל נשאל מהו. גם ב- בזכות אלגוריתם האליפסואיד( * Isomorphism :Graph בהינתן שני גרפים, האם הם איזומורפיים? )כלומר, האם זה בעצם אותו גרף עם שינוי שמות הקודקודים(. בעיות ב- NC * זו שאלה פתוחה האם הבעיה ב-, וכמו כן האם היא ב- NC. מאמינים שהיא ב-.,<α, x, 1 n,1 t α האם קיים w {0,1} n כך שהאלגוריתם M עוצר על הקלט <x,w> ומקבל :TMSAT בהינתן רביעייה > תוך t צעדים? :SAT בהינתן נוסחת,CNF האם קיימת השמה אשר מספקת אותה )כלומר מספקת את כל ההסגרים שלה(? )נכון גם לגבי ksat ו- EkSAT לכל 3 k( קבוצה בלתי תלויה :)IS( בהינתן גרף ומספר k, האם יש קבוצת הקודקודים בלתי תלויה )אין קשת בין אף קודקוד לאף קודקוד אחר בקבוצה( בגודל לפחות k? )בעיית מקסימיזציה( בעיית קליק :)Clique( בהינתן גרף ומספר k, האם יש קליקה )קבוצה בה יש קשת בין כל שני קודקודים בקבוצה( בגודל לפחות k? )בעיית מקסימיזציה( מסלול המילטון :)Hamath( בהינתן גרף, האם יש מסלול שמבקר בכל קודקוד פעם אחת בדיוק? מעגל המילטון :)HamCycle( בהינתן גרף, האם יש מעגל שעובר בכל קודקוד פעם אחת בדיוק? :)3COL( 3-Coloring בהינתן גרף, האם ניתן לצבוע את קודקודיו בשלושה צבעים כך שאף קשת לא מחברת בין שני קודקודים באותו צבע? :)TS( Travelling Salesman roblem בהינתן גרף עם משקולות על הקשתות ומספר k, האם קיים מעגל המילטון שמשקלו לכל היותר k?
ה, :)VC( Vertex Cover בהינתן גרף ומספר k, האם קיימת קבוצת קודקודים בגודל k הנוגעת בכל קשתות הגרף? :)SC( Set Cover בהינתן קבוצה U, משפחה של תתי-קבוצות שלה F, ומספר k, האם ניתן לכסות את U באמצעות לכל היותר k תת-קבוצות מ- F? :)I( Integer rogramming בהינתן מערכת אי-שוויונים לינארית מעל n משתנים, האם יש למערכת פתרון בשלמים? )לא להתבלבל עם )!L מספר כרומטי )χ(: בהינתן גרף, מהו המספר המינימלי של צבעים הנדרשים על מנת לצבוע את הגרף באופן חוקי? )או במילים אחרות, מהו המספר הכרומטי של הגרף( :Max-2SAT בהינתן נוסחת 2CNF ומספר k, האם ניתן לספק לפחות k מתוך ההסגרים שלה? בעיות ב- con k 2? בתחום N האם יש מחלק ראשוני של k, ומספר N בהינתן מספר :Factoring :CNF-EQUIV בהינתן שתי נוסחאות φ, ψ, CNF האם הנוסחאות שקולות לוגית? )מחזירות אותו ערך אמת עבור כל השמה( בעיות ב- L :)UCONN( undirected-s,t-connectivity בהינתן גרף לא מכוון בעיות ב- NL :)CONN( s,t-connectivity בהינתן גרף מכוון וקודקודים,s,t האם יש מסלול מ- s ל- t? וקודקודים,s,t האם יש מסלול מ- s ל- t? :2SAT בהינתן נוסחת,2CNF האם היא ספיקה? )כלומר האם ניתן לספק את כל ההסגרים שלה( בעיות ב- SACE :SACETM בהינתן שלישייה,<α,x,1 n α האם M מקבלת את x תוך n צעדים? > :TQBF בהינתן נוסחא מכומתת לחלוטין, האם היא אמת? :MAX-IS בהינתן גרף ומספר k, האם גודל ה- IS הגדול ביותר בגרף הוא k? )בעיה זו אינה SACE שלמה. היא ב- D, ולכן היא ב- 2 וב-, Σ 2 ולפיכך בתוך ההירארכיה הפולינומיאלית. לא ידוע שהיא ב- N ( בעיות ב- EX,<α, x, 1 n α האם M עוצרת תוך 2 n צעדים ומחזיר?1 :EXCOM בהינתן שלישייה > בעיות לא כריעות בעיית :UC בהינתן קלט α אם (α) M α עוצרת ומחזירה.?0 בעיית העצירה: בהינתן קלט α, האם המכונה M α עוצרת? אפשר גם להגדיר עבור קלט מסוים של. M α בעיית :ost Correspondence בהינתן מספר סופי של "אבני דומינו" עם מחרוזת עליונה ומחרוזת תחתונה, האם אפשר לסדר את אבני הדומינו כך שהמחרוזת העליונה )משורשרת( תהיה זהה לזו התחתונה?
בנוסף לכל הבעיות פה, תמיד ניתן לייצר שפה מכל בסיבוכיות שתרצו באמצעות משפט הירארכיית הזמן ומשפט הירארכיית המקום. קירובים :Vertex Cover 2 -קירוב )פשוט לבחור קודקודים חדשים עד שנגמרות הקשתות( :Travelling Salesman roblem לא קיים אף קירוב פולינומיאלי לבעיה זו. Travelling Salesman roblem עם אי-שוויון המשולש: 1.5 -קירוב )בעזרת עץ פורש מינימלי וזיווג של שאר הקשתות. ראינו גם 2 -קירוב שמשתמש רק בעץ פורש מינימלי(. ( ln(s -קירוב, :Set Cover כאשר S היא הקבוצה הגדולה ביותר ב- F )באמצעות אלגוריתם חמדן. הוכחנו שהוא log -קירוב, 2 ln -קירוב ולבסוף ( ln(s -קירוב(. 7/8 -קירוב )הקירוב הוא דה-רנדומיזציה של השיטה ההסתברותית. אין קירוב טוב מזה לפי משפט ה- C ( :3SAT 55/56 -קירוב )רדוקציה מ- 3SAT ( :Max-2SAT לא ניתן לקרב עבור אף סדר קבוע )לפי רדוקציה מ- CSG ( :IS מספר כרומטי: לא ניתן לקרב עבור אף סדר קבוע )לפי רדוקציה מ- qcsg (
להלן תרשים של מחלקות הסיבוכיות השונות, עד כמה שידוע לנו: EX SACE H Σ 2 2 N con NL = conl L המחלקה B אינה מופיעה פה, על אף שהיא מחלקה חשובה שעסקנו בה, מכיוון שלא ניתן לצייר דיאגרמת וון הכוללת אותה ותהיה נכונה בוודאות. למשל, לא ידוע אם היא מכילה את,N מוכלת ב- N או אף אחד מהשניים )או שניהם?(. עם זאת, כן ידוע כי היא מכילה את ומוכלת ב- Σ 2
שאלות פתוחות התרשים בעמוד הקודם מניח כי כל שתי מחלקות שלא הוכחו כזהות הן שונות. להלן רשימת השאלות הפתוחות לגבי שקילות מחלקות, מנוסחת בקצרה ובאופן שקל לזכור: =N, N=coN N = EX = SACE L = H כמובן שישנם ששאלות רבות וחשובות נוספות, אך כולן נובעות מאפשרויות אלה, כגון: =SACE, H=SACE, L=NL וכו'. מצד שני, אנחנו יודעים בוודאות כי: EX NL SACE